高中數學必修第一冊第五章5.5.1第四課時《二倍角的正弦、余弦、正切公式》導學案-2019人教A版

1、第四課時二倍角的正弦、余弦、正切公式課標要求素養要求1.會從兩角和與差的正弦、余弦、正切公式導出二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.能熟練運用二倍角的公式進行簡單的恒等變換，并能靈活地將公式變形應用.在二倍角公式的推導中，經歷由特殊到一般的邏輯推理過程，發展學生的數學運算素養.教材知識探究金剛石晶體的碳碳鍵鍵角約為55，大雁南遷排成的“人”字形隊列的每邊與前進方向的夾角也約為55，這是巧合還是大自然的“默契”？研究表明，金剛石碳碳鍵鍵角約為55時，是最穩定的結構；大雁“人”字形隊列夾角為55時，后面的大雁可以利用前面的翼尖渦流，提高升力，以達到省力的作用.大自然真是神秘奇妙呀！問題1.“人”字形角度的2倍即110度，這其中蘊含著什么樣的數學關系？2.我們能否利用兩角和與差的三角函數公式，推導出二倍角三角函數公式？如何推導？提示1.倍角關系.2.能.例如在兩角和的余弦公式中，用代替，即得到cos 2cos2sin2.二倍角的正弦、余弦、正切公式恰當地理解“倍數”關系，能幫助快速解題三角函數公式簡記正弦sin 22sin_cos_S2余弦cos 2cos2sin22cos2112sin2C2

2、正切tan 2T2以上這些公式都叫做倍角公式，倍角公式給出了的三角函數與2的三角函數之間的關系.教材拓展補遺微判斷1.sin 2sincos.()2.cos2(1cos 2)，cos 312sin2.()3.tan.()提示公式中所含各角都要使三角函數有意義，而tan無意義.4.sin2cos2.()提示sin2cos2cos.5.cos 12sin 12.()微訓練1.sincos的值為_.解析sincossin.答案2.cos2sin2的值為_.解析cos2sin2cos.答案3._.解析tan 30.答案4.函數ysin2xcos2x的最小正周期為_.解析ysin2xcos2x(cos2xsin2x)cos 2x，T.答案5.為第二象限角，sin cos ，則sin 2_.解析sin cos ，12sin cos ，sin 2.答案微思考1.在推導二倍角公式的過程中，二倍角的正弦、余弦、正切公式中的角對于任意角均成立嗎？提示sin 2，cos 2中為任意角，tan 2中，2k即，kZ.2.sin 2，cos 2，tan 2的公式中，2是的倍角，角一定為具體角嗎？如何理解倍角的含義

3、呢？提示角不一定是具體角，也可為角的關系式 ，二倍角只是相對的，如4是2的二倍，是的二倍，2是的二倍.題型一給角求值問題構造倍角公式的形式是關鍵【例1】求下列各式的值.(1)12sin2750；(2)；(3)cos 20cos 40cos 80.解(1)原式cos(2750)cos 1 500cos(436060)cos 60.(2)原式2.(3)原式2sin 20cos 20cos 40cos 80sin 40cos 40cos 80sin 80cos 80sin 160.規律方法二倍角公式的關注點(1)對“二倍角”應該有廣義的理解，如：4是2的二倍角；是的二倍角，3是的二倍角等.(2)公式逆用：主要形式有2sin cos sin 2，sin cos sin 2，cos ，cos2sin2cos 2，tan 2.(3)化簡求值關注四個方向：分別從“角”“函數名”“冪”“形”著手分析，消除差異.【訓練1】(1)cos2_；(2)sin 6sin 42sin 66sin 78_.解析(1)原式(12cos2)cos.(2)sin 6sin 42sin 66sin 78sin 6cos 4

4、8cos 24cos 12.答案(1)(2)題型二給值求值問題【例2】(1)若tan ，則cos22sin 2()A. B. C.1 D.(2)已知cos，則cos的值為_.(3)已知sin，0x，則的值為_.解析(1)原式cos24sin cos .(2)cos()，0，sin()，從而cos 2sin(2)2sin()cos()，sin 2cos(2)12cos2().cos(2)cos 2cossin 2sin(cos 2sin 2)().(3)0x，sin(x)，x(0，)，cos(x)，利用誘導公式，sincoscos.原式2sin.答案(1)A(2)(3)規律方法解決給值求值問題的方法(1)有方向地將已知式或未知式化簡，使關系明朗化；尋找角之間的關系，看是否適合相關公式的使用，注意常見角的變換和角之間的二倍關系.(2)當遇到x這樣的角時可利用互余角的關系和誘導公式，將條件與結論溝通.【訓練2】設為銳角，若cos，則sin的值為_.解析為銳角，.cos，sin，sinsin2sincos2，coscos2cos2121，sinsinsincoscossin.答案題型三三角函數

5、式的化簡與證明【例3】求證：tan4 A.證明左邊(tan2A)2tan4 A右邊，tan4 A.規律方法探究三角函數式化簡、證明的常用技巧(1)特殊角的三角函數與特殊值的互化；(2)對于分式形式，應分別對分子、分母進行變形處理，有公因式的提取公因式后進行約分；(3)對于二次根式，注意倍角公式的逆用；(4)利用角與角之間的隱含關系，如互余、互補等；(5)利用“1”的恒等變形，如tan451，sin2cos21等.【訓練3】求證：.證明原式變形為1sin 4cos 4tan 2(1sin 4cos 4)，(*)而(*)式右邊tan 2(1cos 4sin 4)(2cos222sin 2cos 2)2sin 2cos 22sin22sin 41cos 4左邊，(*)式成立，即原式得證.一、素養落地1.通過對公式的正用、逆用、變形用可以發散學生思維、開闊視野，能進一步提升數學抽象、邏輯推理、數學運算素養.2.倍角公式中的“倍角”是相對的，對于兩個角的比值等于2的情況都成立，如6是3的2倍，3是的2倍這里蘊含著換元思想.這就是說，“倍”是相對而言的，是描述兩個數量之間的關系的.3.在二倍角公式

6、中，二倍角的余弦公式最為靈活多樣，應用廣泛，二倍角的常用形式：1cos 22cos2，cos2，1cos 22sin2，sin2.二、素養訓練1.已知cos x，則cos 2x()A. B. C. D.解析cos 2x2cos2x121，故選D.答案 D2.已知sin cos ，則sin 2()A. B. C. D.解析sin 22sin cos .答案A3.等于()A.sin 18 B.cos 18C.cos 18sin 18 D.sin 18cos 18解析cos 18.答案B4.已知sin ，則cos(2)()A. B.C. D.解析cos(2)cos 22sin21.答案B5.cos4sin4的值為()A.0 B.C.1 D.解析原式cos.故選B.答案B基礎達標一、選擇題1.cos275cos215cos 75cos 15的值等于()A. B. C. D.1解析原式sin215cos215sin 15cos 151sin 30.答案C2.若sin ，則cos 2()A. B.C. D.解析cos 212sin21，故選B.答案B3.化簡cos 28的結果為()A.sin 28

7、 B.sin 28C.2sin 28 D.sin 14cos 28解析原式tan 28cos 28sin 28，故選A.答案A4.設sin ，23，則sincos()A. B.C. D.解析sin ，1sin .又23，sincos.答案A5.已知等腰三角形底角的正弦值為，則頂角的正弦值是()A. B.C. D.解析設底角為，則，頂角為2.sin ，cos .sin(2)sin 22sin cos 2.答案A二、填空題6.已知函數f(x)sincos 的值域為_.解析f(x)sin.答案7.若2是方程x25xsin 10的兩根，則cos 2等于_.解析由題意得5sin 4，即sin ，所以cos 212sin212.答案8.已知tan x2，則tan的值為_.解析tantan.答案三、解答題9.化簡下列各式：(1)；(2).解(1)原式tan 2.(2)原式1.10.已知角在第一象限且cos ，求的值.解cos 且在第一象限，sin .cos 2cos2sin2，sin 22sin cos ，原式.能力提升11.已知sin2cos0.(1)求tan x的值；(2)求的值.解(1)由sin2cos0，知cos 0，tan2，tan x.(2)由(1)，知tan x，.12.已知coscos.(

《高中數學必修第一冊第五章5.5.1第四課時《二倍角的正弦、余弦、正切公式》導學案-2019人教A版》由會員147037****qq.com分享，可在線閱讀，更多相關《高中數學必修第一冊第五章5.5.1第四課時《二倍角的正弦、余弦、正切公式》導學案-2019人教A版》請在金鋤頭文庫上搜索。